FACHSCHAFTSRAT MATHEMATIK

1. Galoistheorie Die Prüfung begann mit der allgemeinen Frage, wie man Körper studiert. Dann musste ich die Definition einer Körpererweiterung und der Galois-Gruppe erklären. Es folgten Fragen dazu, welche die Elemente in Gal(CC/RR) sind und wie man das begründen kann. Anschließend wurde diskutiert, wann eine endliche Körpererweiterung eine Galois-Erweiterung ist. Ich nannte vier äquivalente Definitionen: Zerfällungskörper eines separablen Polynoms Der kleinere Körper ist der Fixkörper der Galois-Gruppe |Gal(K/L)| = [K:L] Die Erweiterung ist normal und separabel Dann musste ich zeigen, dass für L/K als Zerfällungskörper eines separablen Polynoms in K[x] gilt: |Gal(K/L)| = [K:L]. Ich wurde gefragt, wie viele Elemente Gal(K/L) maximal enthält, wenn der Grad des Polynoms n ist (Antwort: n!). Ich erklärte, dass die Einschränkung eines Elements der Galois-Gruppe auf die Nullstellen eines Polynoms in K[x] eine Bijektion der Nullstellen liefert, was zu einer Einbettung von Gal(K/L) in die symmetrische Gruppe führt. Dann sollte ich ein Beispiel für eine Galois-Erweiterung nennen, deren Galois-Gruppe nicht die symmetrische Gruppe ist. Ich wählte den Zerfällungskörper von f = x^4-2 über QQ, wobei Gal(L/QQ) isomorph zur Diedergruppe D4 ist. Ich skizzierte den Untergruppenverband von D4 und nannte zwei Erzeuger r, s mit r^4 = s^2 = srsr = 1. Danach wurde der Hauptsatz der Galois-Theorie besprochen. Ich erklärte, dass die Menge der Zwischenkörper L/K/F in Bijektion zu den Untergruppen von Gal(L/F) steht, wobei K auf Gal(L/K) und eine Untergruppe H auf den Fixkörper Fix(H) = L^H abgebildet wird. Ich zeigte, dass diese Zuordnung bijektiv ist, was aus der Tatsache folgt, dass L/L^H und L/K Galois-Erweiterungen sind. Aus der Charakter-Theorie folgt [L:L^H] = |H| und damit |H| = |Gal(L/L^H)|. Da H eine Untergruppe von Gal(L/L^H) ist, muss Gleichheit herrschen. Ich musste erklären, wann eine Untergruppe H von Gal(L/F) normal ist bzw. wann K/F Galois ist. Ich gab an, dass in diesem Fall Gal(L/F)/Gal(L/K) = Gal(K/F) gilt. Danach betrachteten wir einige Zwischenkörper der Galois-Gruppe von f = x^4 - 2. Ich sollte eine Untergruppe nennen, die nicht normal ist, und den zugehörigen Fixkörper bestimmen. Es folgte eine Diskussion über radikale Auflösungen und auflösbare Gruppen. Ich musste erklären, was eine radikale Auflösung ist, warum es für n >= 5 keine allgemeine Lösungsformel gibt und wie man ein Beispiel für ein irreduzibles Polynom fünften Grades mit drei reellen und zwei komplexen Nullstellen konstruiert. Ich beantwortete die Frage, ob Polynome beliebigen Grades durch Radikale gelöst werden können. Dabei kamen wir auf das Ergebnis von Gauß zu sprechen, dass die p-ten Einheitswurzeln durch Radikale lösbar sind. Zuletzt musste ich ein Kriterium nennen, wann ein reguläres n-Eck konstruierbar ist. 2. Moduln über Hauptidealringen Im zweiten Teil der Prüfung ging es um Moduln über Hauptidealringen. Ich sollte den Hauptsatz über solche Moduln nennen und erklären, wie dieser auf Endomorphismen von Vektorräumen angewendet wird. Ich erklärte die Darstellung mit invarianten Faktoren und den Zusammenhang zwischen Minimalpolynom und charakteristischem Polynom. Insbesondere wurde gefragt, was passiert, wenn das charakteristische Polynom quadratfrei in Linearfaktoren zerfällt und welche Konsequenzen dies für das Minimalpolynom und die invarianten Faktoren hat. Es folgte eine Diskussion über die rationale Normalform und die Jordan-Normalform. Ich sollte erklären, wie die Basen in den Quotienten so gewählt werden, dass "schöne" Abbildungsmatrizen entstehen.

Anmerkungen: N/A

Was sind Eigenschaften einer Körpererweiterung? -> endlich, einfach, normal Wie stehen diese im Zusammenhang? Gibt es dazwischen Implikationen? Beweis endlich => algebraisch Was ist der Zerfällungskörper? Ist er eindeutig und wie kann er konstruiert werden? Was ist die Galoisgruppe? Was wissen wir über diese Gruppe? Beispiel für eine Körpererweiterung dessen Galoisgruppe nicht die symmetrische und nicht abelsch ist. An diesem Beispiel die Galoisgruppe konstruieren. Welcher Zusammenhang besteht zwischen Gal(L/K) und [L:K] Wann ist eine Körpererweiterung Galois? Was ist der Hauptsatz der Galoistheorie? Wann ist K/F in F \subset K \subset \L Galoise? Was wissen wir über Gal(K/F)? Was heißt es, dass eine Gruppe auflösbar ist? Wann ist eine Körpererweiterung auflösbar? (Wann ist L_(i+1)/L_i Galois? Welcher Zusammenhang besteht dazwischen? --Sprung zum zweiten Kapitel-- Was ist der Hauptsatz? Fundamentalsatz über endlich erzeugte Gruppen nennen. Möglichkeiten für Gruppen der Ordnung daran bestimmen.

Anmerkungen: Es ist überaus hilfreich zu vielen Kontexten Beispiele parat zu haben.